Thomas Warzog
Das Räderwerk in der Geometrie der Drehgruppe
Prinzipielle Darstellung der Symmetrien von Drehungen und ihren physikalischen Anwendungen
Festeinband August 2024
135 Seiten | ca. 17,0 x 24,0 cm
ISBN: 978-3-98913-119-4
Das Räderwerk in der Geometrie der Drehgruppe
Prinzipielle Darstellung der Symmetrien von Drehungen und ihren physikalischen Anwendungen
Festeinband August 2024
135 Seiten | ca. 17,0 x 24,0 cm
ISBN: 978-3-98913-119-4
In diesem Essay werden wesentliche Prinzipien bei der Darstellung der Symmetrien von Drehungen und ihren physikalischen Anwendungen vorgestellt. Da die Darstellung der Prinzipien im Vordergrund steht, werden nicht alle mathematischen Sätze und physikalischen Anwendungen akribisch bewiesen, sondern wesentliche Beweisprinzipien genannt.
Das Ziel besteht darin, den Leser für die Geometrie der Drehungen zu begeistern und ihnen einen Überblick über das Gebiet der Drehungen in möglichst kompakter Art und Weise zu geben. Kenntnisse in linearer Algebra und elementarer Gruppentheorie sind hilfreich.
Eine Inhaltsangabe befindet sich in der „Leseprobe“.
Das Ziel besteht darin, den Leser für die Geometrie der Drehungen zu begeistern und ihnen einen Überblick über das Gebiet der Drehungen in möglichst kompakter Art und Weise zu geben. Kenntnisse in linearer Algebra und elementarer Gruppentheorie sind hilfreich.
Eine Inhaltsangabe befindet sich in der „Leseprobe“.
Einleitung
Der Prophet Hesekiel beschreibt die Herrlichkeit Gottes auf seinem Thronwagen. In dieser prophetischen Vision werden die vier Räder des Thronwagens als Räderwerk bezeichnet, welche jeweils genau einem heiligen Engel, einem Cherub, beigefügt sind.
„Als ich die Cherubim sah, siehe, da stand je ein Rad auf der Erde bei den vier Wesen, bei ihren vier Angesichtern. Die Räder waren anzuschauen wie ein Türkis und waren alle vier gleich, und sie waren so gemacht, dass ein Rad im andern war. Und ihre Felgen waren hoch und furchterregend, ihre Felgen waren voller Augen ringsum bei allen vier Rädern. Und wenn die Wesen gingen, so gingen auch die Räder mit, und wenn die Wesen sich von der Erde emporhoben, so hoben die Räder sich auch empor.“
Diese Bibelzitate aus dem ersten Kapitel des Propheten Hesekiel zu den vier Rädern Gottes zeigen ihre hohe Bedeutung und ihre innige Beziehung zu den ihnen jeweils zugeordneten heiligen Engeln am Thron Gottes. Wenn die Räder jeweils auf der Erde stehen, wie ein „Türkis“ ausschauen und gleichzeitig als Räderwerk Gottes beschrieben werden, stellen sie eine Verbindung zwischen der Herrlichkeit Gottes und seinem Wirken auf Erden her.
Jeder Mensch auf Erden macht seine Erfahrungen im Umgang mit Rädern. Wenn er beispielsweise als Fahrer eines Automobils das Lenkrad in seinen Händen hält und sein Automobil auf vier Rädern nach seinem Willen einem Ziel entgegensteuert, kann er dies als ein Abbild des göttlichen Thronwagens auf Erden begreifen und gleichzeitig königliche Gefühle bei der Fahrt haben,
denn er wird nach Genesis 1, 27 als das Ebenbild Gottes bezeichnet.
Das Bild des Rades enthält die Vorstellung der Statik und der Symmetrie des Kreises; es enthält aber auch das Bild der Drehung und der Bewegung. Die Felgen des Rades verleihen ihm Stabilität. Durch die Bewegung und dem Zweck der Fahrt dient das Rad dem Leben und dem Willen des Fahrers. Daher kann nachvollzogen werden, dass die Räder „voller Augen“ sind.
Somit haben Räder einerseits mit der Form des Kreises, den Sphären, und anderseits mit ihren Drehbewegungen zu tun. Diese werden in der Mathematik durch die Drehgruppe und ihren Darstellungen auf linearen Räumen veranschaulicht. Es stellt sich dabei heraus, dass Drehungen faszinierend vielfältige Formen annehmen und ausbilden.
In diesem Essay werden wesentliche Prinzipien bei der Darstellung der Symmetrien von Drehungen und ihren physikalischen Anwendungen dargelegt. Da die Darstellung der Prinzipien im Vordergrund steht, werden nicht alle mathematischen Sätze und physikalischen Anwendungen akribisch bewiesen, sondern wesentliche Beweisprinzipien genannt. Das Ziel besteht darin, den Leser für die Geometrie der Drehungen zu begeistern und ihnen einen Überblick über das Gebiet der Drehungen in möglichst kompakter Art und Weise zu geben.
Das erste Kapitel „Drehgruppe“ beginnt mit der Einführung der speziellen orthogonalen Gruppe, welche die eigentlichen Drehungen (keine Spiegelungen) in die Form einer mathematischen Gruppe fasst. Die Geometrie und die Topologie der Drehgruppe werden anschließend betrachtet. Dabei stellt sich heraus, dass die eigentliche Drehgruppe zweifach zusammenhängend ist. Ihre einfach zusammenhängende Überlagerungsgruppe ist die spezielle unitäre Gruppe in zwei Dimensionen, welche gewissermaßen „Drehungen“ im komplexen zweidimensionalen Raum beschreibt. Ihre algebraischen Eigenschaften können besonders gut in der Quaternionen Algebra erfasst werden, welche sehr anschaulich die dreidimensionale Sphäre mit der zweidimensionalen unitären Gruppe identifiziert und ihre Überlagerung zur Drehgruppe sichtbar werden lässt.
Die kontinuierlichen Obergruppen der Drehgruppe werden als sogenannte Lie-Gruppen erkannt, welche hochsymmetrische Mannigfaltigkeiten mit einer differenzierbaren Gruppenstruktur sind. Die Struktur der Lie-Gruppen kann über ihre Tangentialräume, welche eine sogenannte Lie-Algebra erfüllen, untersucht werden. Dabei wird insbesondere auf die Struktur der vierdimensionalen eigentlichen Drehgruppe und der ihr verwandten Lorentz-Gruppe hingewiesen, welche als Symmetriegruppe den hyperbolischen Bewegungen in der speziellen Relativitätstheorie zugrunde liegt.
Danach werden homogene Räume als Faktorräume von Lie-Gruppen erkannt. Die Sphären S(n) sind beispielsweise isomorph zur Faktorgruppe von
der n+1- zur n-dimensionalen Drehgruppe. Es stellt sich heraus, dass die Kugeloberfläche keine Lie-Gruppe, jedoch ein symmetrischer homogener Raum ist. Dasselbe gilt entsprechend für die projektiven Räume und die hyperbolischen Räume, welche alle die Struktur eines Prinzipalbündels tragen, welches zum Schluss dieses Kapitels vorgestellt wird.
Nach den Obergruppen werden die Untergruppen der Drehgruppe gesichtet. Dabei ist die zweidimensionale Drehung die einzige kontinuierliche Untergruppe der Drehgruppe. Da eine zweidimensionale Untergruppe jeder Raumrichtung zugeordnet werden kann, gibt es überabzählbar viele zweidimensionale Untergruppen der Drehgruppe. Anschließend werden die diskreten Untergruppen der Drehgruppe identifiziert. Dabei handelt es sich um die zyklischen Gruppen, die Dieder-Gruppen und die Symmetriegruppen der fünf platonischen Körper.
Die bisher vorgestellten Gruppen haben ihren Ursprung als Matrizengruppen, so auch die eigentliche Drehgruppe. Jedoch handelt es sich dabei um ihre treue, d. h. isomorphe, Darstellung als lineare Gruppe. Die Gruppen selbst sind bestimmt durch ihre algebraischen und topologischen Eigenschaften. Bei Darstellungen der Gruppen als lineare, invertierbare Abbildungen auf einem Vektorraum können Darstellungen in ihre irreduziblen Darstellungen zerlegt werden. Es werden die irreduziblen Darstellungen der zuvor vorgestellten Ober- und Untergruppen im Kontext der Drehgruppe untersucht. Diese sind für ihre Anwendungen in der Physik sehr bedeutsam.
Als Anwendung in der Physik werden zunächst die Darstellungen der Drehgruppe in der Mechanik betrachtet. Dort wird im ersten Abschnitt ein rotierendes Bezugssystem in Bezug auf ein Inertialsystem untersucht. Dabei wird festgestellt, wie die sogenannten Scheinkräfte, die Corioliskraft und die Zentrifugalkraft, entstehen. Es wird auf den Zusammenhang zwischen Drehungen und der Drehimpulserhaltung eingegangen. Diese Erkenntnisse ermöglichen eine Beschreibung der Drehbewegungen von Kreiseln. Im drehsymmetrischen Zentralkraftfeld ist der Drehimpuls ebenfalls erhalten. Dies führt zur Vereinfachung der Bewegungsgleichungen und mündet in die Formulierung von Bewegungsintegralen. Zum Schluss dieses Kapitels werden die sich daraus ergebenden Bahntypen erörtert, wie sie beispielsweise bei den Planetenbewegungen beobachtet werden können.
In der Relativitätstheorie bestimmt die Erhaltung der hyperbolischen Länge die Metrik des physikalischen Raums, der als Minkowski-Raum bezeichnet
wird. Die eigentliche Lorentz-Gruppe beschreibt die Symmetrietransformationen auf dieser Metrik. Sie führt dann zur berühmten Einstein‘schen Energie-Formel E = mc2. Diese findet auf einem einschaligen Hyperboloid statt, welches einen homogenen Raum für die Energiebewegung bereitstellt.
Die Theorie der Darstellungen von Drehgruppen kann ausgiebig in der Quantenmechanik angewandt werden. Es beginnt damit, dass bei einem Zentralkraftfeld die Energie-Eigenräume gleichzeitig auch Darstellungsräume der Schrödinger-Gleichung sind, deren physikalische Zustände auf einem unendlich dimensionalen Hilbertraum repräsentiert werden. An den Beispielen des Wasserstoffatoms und des dreidimensionalen harmonischen Oszillators werden die irreduziblen Darstellungen der Eigenräume untersucht.
Die Pauli-Gleichung ist ein Ergebnis der physikalischen Erkenntnis, dass einem Elektron ein Eigendrehimpuls zugeordnet werden muss, der Spin genannt wird und welcher lediglich zwei Eigenwerte aufweist. Zu seiner Darstellung wird zwingend die niederste Darstellung der Überlagerungsgruppe der Drehgruppe benötigt. Die Ankopplung des Elektronenspins an äußere magnetische und elektrische Felder hat Auswirkungen auf die Aufspaltung der Energie-Eigenräume in die irreduziblen Darstellungen der verminderten Symmetriegruppe, welche durch das Anlegen dieser Felder entsteht und welche im Zeeman- und Starkeffekt physikalisch gemessen werden kann.
Das von dem Physiker Richard Feynman (1918-1988) bezeichnete Juwel der Physik, die Dirac-Gleichung, kann gruppentheoretisch begründet werden, indem das Transformationsverhalten der niedrigsten irreduziblen Darstellungen der Lorentz-Gruppe untersucht wird. Dabei gelingt es, eine relativistisch kovariante Differentialgleichung erster Ordnung aufzustellen, deren Zeitentwicklung durch einen Hamilton-Operator generiert wird. Da der Gesamtdrehimpuls als Summe aus Spin und Bahndrehimpuls mit dem Hamilton-Operator vertauscht, sind seine Eigenwerte Erhaltungsgrößen, welche als Quantenzahlen bezeichnet werden.
Die Wirkung von der Eichsymmetrie der unitären eindimensionalen Gruppe in der Quantenmechanik begründet die Existenz elektromagnetischer Felder. Anschließend wird die Wirkung der Darstellungen der Symmetriegruppe der speziellen unitären Gruppe in drei Dimensionen auf das Quarkmodell der Elementarteilchenphysik anschaulich vorgestellt.
Zum Schluss werden ein paar Aspekte zum Räderwerk Gottes der Vision Hesekiels angesprochen, bevor die relevanten Abschnitte in Hesekiel 1 und 10 zum Nachlesen nach der Luther-Übersetzung zitiert werden. Letztendlich stellt sich die Frage, ob die Geometrie von Drehungen als eine irdische Form des göttlichen Räderwerks gedeutet werden kann.
Für diesen Artikel ist noch keine Presse / PR vorhanden.
* Alle Preise inkl. der gesetzlichen Mehrwertsteuer (gilt für Bestellungen aus Deutschland und Österreich)
